Книга Эдмундо Ландау (не знаю, почему Эдмундо -
на обложке написано ЭДМУНД), упоминаемая И.В.Каменевым в лекциях,
попалась мне в букинисте, и я не удержался и купил её
(за 80 р.).
Она называется
"Введение в дифференциальное и интегральное исчисление".
Здесь сперва приведено предисловие
( без подписи, вероятно, предисловие переводчика
Д.А.Райкова) к её русскому изданию.
Затем приведено предисловие самого
Эдмундо Ландау к
немецкоязычному изданию этой его книги.
Сама книга по плотности изложения близка
к "белым карликам" (звёзды после коллапса, с очень
большой плотностью массы).
Формат её - почти карманный.
Ширина - 14см, высота - 20см,
толщина - 3см (включая твёрдую обложку).
458 страниц, включая оглавление, несут на себе полезную
нагрузку, в среднем равную 1.053 [теорема/на страницу].
Этот стратегический бомбардировщик
осуществляет прицельное бомбометание
без повторного захода на цель:
дублирование теорем и рассуждений,
столь частое
в "объяснятельных учебниках", здесь полностью
заменено ссылками на ранее доказанные теоремы.
Присовокупленная к этому
сплошная нумерация теорем (последняя теорема имеет номер 480)
наводит на мысль о тайно разработанном
Ландау формате сжатия данных, рядом
с которым RAR, WinZIP и ARJ
уныло отдыхают.
Можно предположить, что эта книжечка
оказала решительное взрывное
действие не только на каменевскую
педагогическую точку зрения,
но и на дух целого поколения математиков.
Немецкая тщательная основательность
борется за место под методологическим
солнцем не хуже французского
изящного стиля (Валле-Пуссен) и
английского флегматичного прагматизма
(Титчмарш, Литтлвуд).
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Умерший в эмиграции в Голландии в годы войны
крупный немецкий математик Эдмунд Ландау
был одним из ярких поборников
"математической строгости", как в изложении научных работ, так и
в преподавании.
Наглядные наводящие соображения, не облечённые в строгую научную форму,
считались им лишёнными смысла.
Когда молодой математик приходил к Ландау, желая ему рассказать
"общую идею" своей работы, то Ландау отвечал, что он не знает. что это такое,
и предлагал взять карандаш и рассказывать все доказательства
без пропусков и со всеми выкладками.
Подобным же образом он считал, что университетское преподавание
анализа должноначинаться с полного формального изложения теории целых,
рациональных, действительных и комплексных чисел.
Все знания, приобретённые в средней школе. должны были при этом
игнорироваться,
так как в средней школе они излагаются без достаточной строгости.
С этой целью собственно курсу анализа приходилось предпосылать
специальный курс "основ анализа", который Ландау и читал многократно,
вопреки сомнениям своих коллег, для студентов первого семестра
Гёттингенского университета.
"Основы анализа" Ландау в русском переводе выходят одновременно с
настоящей книгой, которая на них существенно опирается.
Вместе они представляют собой замкнутый в себе курс
элементов анализа, не предполагающий формально у читателя
никаких предварительных знаний, кроме
"способности логически мыслить."
Изложенные выше педагогические идеи Ландау являются
не только спорными, но и определённо противоречат
реальным условиям преподавания.
Трудно было бы поэтому рекомендовать
книги ландау в качестве учебников для начинающих.
Они имеют, однако, большой интерес для преподавателей
и для студентов, уже знакомых с элементами анализа и
желающих глубже разобраться в их логических основах.
Незаменимая ценность книг Ландау состоит в том, что путём
многолетних усилий ему удалось найти исключительно удобные
и короткие пути логического построения анализа.
Если бы до появления книг Ландау был задан вопрос,
сколько страниц потребуется,
чтобы, отправляясь от общих законов логики и аксиом
натурального ряда чисел, добраться в совершенно строгом
формальном изложении до всех основных фактов интегрального
исчисления ( включая даже ряды Фурье ),
то большинство авторитетных математиков ответило бы,
что для выполнения этой программы
потребуется несколько больших томов.
Между тем две книги Ландау вместе даже
тоньше многих менее строгих курсов,
охватывающих приблизительно тот же запас фактов.
Ради того, чтобы подчеркнуть независимость своего изложения от
геометрических наглядных представлений, Ландау не даёт в своей книге
чертежей и не пользуется геометрическим языком.
Об этом можно пожалеть с той точки зрения,
что из-за такого ограничения
изложение многих вопросов
становится чрезвычайно трудно доступным для понимания.
Например, принадлежащее Ван дер Вардену построение нигде
не дифференцируемой функции (теорема 100) в изложении Ландау
занимает шесть страниц очень трудно читаемого текста,
геометрическая же идея этого построения крайне проста.
Действительное положение вещей было бы освещено с большей полнотой,
если бы читателю было показано,
что "геометрический язык" в изложении анализа
может быть введён с полной логической строгостью.
Из книги же Ландау читатель может вынести ошибочное представление,
что употребление геометрических терминов
неизбежно связано с потерей строгости изложения.
В заключение отметим,
что "строгость " понимается Ландау
лишь как сведение
всей математики к общим законам логики, аксиомам натурального ряда
и ряду предложений теории множеств.
Сам Ландау предложения чистой теории множеств,
употребляемые им без доказательств,
относит, по-видимому,
к числу законов логики.
Такая точка зрения не появляется общепринятой.
Необходимые Ландау для построения
анализа теоретико-множественные
понятия не так элеметарны
и могут подлежать глубокому критическому анализу.
Однако в указанных пределах
Ландау решает поставленную перед собой задачу с
большим мастерством.
|
ПРЕДИСЛОВИЕ К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ, НАПИСАННОЕ
САМИМ ЭДМУНДО ЛАНДАУ
После того, как я в течение 32 лет читал в различных
университетах лекции по анализу;
после того, какя в 1930 г. опубликовал терпимо,
а частично даже благожелательно, встреченную
критикой книжку "Основы анализа", в которой,
следуя классическому пути, изложил без логических
пробелов законы действий над целыми, рациональными,
иррациональными и комплексными числами
(т.е. "заимствуемые" ещё из средней школы основы,
на которых должно затем строиться дифференциальное и
интегральное исчисление);
- я делаю теперь следующий шаг.
После столь продолжительной
лекционной практики я чувствую себя, наконец,
достаточно подготовленным к изданию моих лекций
по дифференциальному и интегральному исчислению.
Этой теме посвящено много книг;
тому, кто интересуется,
главным образом, применениями и не
желает знакомиться с построением
понятий и теорем без
логических пробелов, -
незачем брать мою книгу.
Тому, кто хотел бы,
чтобы ему было преподано большое число
примеров, следует обратиться к сборнику задач; я даю всюду,
как правило, по одному примеру на каждую подходящую
для этого теорему, если только она
и без этого не специализируется последующими применениями.
От геометрических применений я отказался.
Не потому, что я - не геометр.
С нужной здесь геометрией я знаком;
однако небходимое для указанной цели изложение
аксиом и элементов геометрии
(хорошо известное мне
и бывшее даже предметом с удовольствием
читанных мною лекций) потребовало бы нового тома,
который должен был бы предшествовать этому.
Разумеется, в моих лекциях по дифференциальному
и интегральному
исчислению геометрические применения занимают большое место;
но здесь я стремлюсь
точно и полно предать гласности те
методы, которые казались мне наиболее целесообразными
в моём преподавании
дифференциального и интегрального исчисления.
Вряд ли стоит особо отмечать, что из всех теорем этой книги
ни одна не нова
и не более чем половина
одной единственной теоремы
принадлежит мне. Моей (трудной)
задачей было лишь выбрать из большого числа имеющихся фактов
те, которые я считал бы наиболее заслуживающими сообщения
учащемуся в начале его учёбы,
расположить их в целесообразном порядке и,
прежде всего, выявить те, зачастую не высказываемые
определения и теоремы, которыми можно было бы воспользоваться,
как цементом при возведении всего здания с требуемыми этажами
в их требуемом расположении.
Знатоку, которому покажется
чересчур оригинальным,
что, например, в качестве второй теоремы после определения
производной
появляется теорема
Вейерштрасса: "всюду непрерывная функция может быть нигде не
дифференцируемой", - я возражу:
существуют очень хорошие математики,
не знающие и никогда не знавшие доказательства
этой теоремы;
но нисколько не повредит, а, наоборот, будет хорошим
примером
для усвоения понятия производной,
если начинающий получит возможность уже по своему учебнику
с простейшим известным ныне
доказательством
указанной теоремы.
Я не следовал в точности
какому-нибудь
из читанных мною курсов лекций по дифференциальному и
интегральному
исчислению, а снова подверг
материал этих лекций пересмотру и перестройке.
Мне кажется, что я нашёл целесообразный путь,
на котором читатель сможет узнать всё,
что ему потребуется в течение дальнейшей
его математической жизни
из элементов дифференциального и интегрального
исчисления (включая бесконечные ряды),
чтобы затем изучить высшие отделы
интегрального исчисления
и остальные части анализа по
хорошим изложениям.
Гронинген,
9 февраля 1934 г.
ЭДМУНД ЛАНДАУ
|